Сингулярные интегральные операторы на многообразии с отмеченным подмногообразием

Аннотация

Пусть $X$ – компактное многообразие без края и $X^0$ – его гладкое подмногообразие коразмерности один. В работе вводятся классы интегральных операторов на $X$ c ядрами $K_A(x,y)$, являющимися гладкими функциями при $x\notin X^0$ и $y\notin X^0$ и допускающими асимптотическое разложение определенного вида, если $x$ или $y$ приближается к $X^0$. Для операторов из этих классов доказаны теоремы о действии в пространствах конормальных функций и теоремы о композиции. Показано, что функционал следа можно продолжить до функционала регуляризованного следа $\operatorname{r-Tr}$, определенного на некоторой алгебре $\mathcal K(X,X^0)$ сингулярных интегральных операторов, описанных выше. Доказана формула для регуляризованного следа коммутатора операторов из данного класса в терминах ассоциированных операторов на $X^0$. Доказательства основаны на теоремах о поднятии и опускании конормальных функций при отображениях многообразий с отмеченными подмногообразиями коразмерности один.