Целые функции с тонкими асимптотическими оценками для выпуклых функций

Аннотация

В статье предлагается конструкция целой функции, логарифм модуля которой асимптотически аппроксимирует данную субгармоническую функцию вида $\widetilde h(\operatorname{Re}z)$, где $\widetilde h$ – сопряженная по Юнгу к выпуклой функции $h(t)$ на интервале $(-1;1)$. Такие функции находят применение в вопросах представления рядами экспонент в интегрально-весовых пространствах функций на интервале $(1;1)$ с весом $\exp h(t)$. При этом чем больше точность аппроксимации, тем в более тонких топологиях можно рассматривать представление рядами экспонент. Для функций $h$, удовлетворяющих условию $(1-|t|)^n=O(\exp(h(t)))$, $n\in\mathbb N$, соответствующие целые функции были построены ранее. В данной статье рассматриваются функции, удовлетворяющие условию $\exp(h(t))=o((1-|t|)^n)$, $n\in\mathbb N$. В предлагаемой конструкции учтены необходимые условия на распределение показателей безусловных базисов из экспонент, полученные в предыдущих работах. Поэтому основной результат статьи (теорема 1) следует рассматривать не как инструмент, пригодный для конструкции безусловных базисов из экспонент, а как аргумент в пользу гипотезы об отсутствии таковых.