Индуктивные методы для неравенства Харди на деревьях
Ключевые слова:
двухвесовое неравенство, дерево с корнем, неравенство ХардиАннотация
Мы изучаем неравенство Харди на не более чем счетном дереве с корнем. Главными известными критериями для него в нижнетреугольном случае являются два критерия Аркоцци, Рохберга и Сойера (2002) и емкостной критерий. В литературном обзоре показано, что эти критерии примыкают к критериям для неравенства Харди для последовательностей, для неравенства Харди на интервале вещественной оси и для следовых неравенств с потенциалами Рисса. Приведены примеры в литературе, когда следовое неравенство или иное утверждение характеризуется в терминах справедливости неравенства Харди на дереве. Мы упрощаем два известных доказательства критерия Аркоцци, Рохберга и Сойера, которые основаны на интерполяционной теореме Марцинкевича и на емкостном критерии. Мы даем новые доказательства критериев Аркоцци, Рохберга и Сойера, которые основаны на индукции по дереву, индуктивной формуле для емкости и формуле интегрирования по частям. Последнее из доказательств записано для неравенства Харди на дереве с границей и для неравенства Харди над семейством всех двоичных кубов. В диагональном случае это доказательство доставляет оптимальную постоянную $p$, которая совпадает с постоянной Беннетта в неравенстве Харди для последовательностей. В общем случае даны несколько новых индуктивных критериев справедливости неравенства Харди в терминах существования семейства функций, удовлетворяющих индуктивному соотношению. Один из этих критериев применен при доказательстве теоремы, содержащей дополнительные эквивалентные условия справедливости неравенства Харди на деревьях в диагональном случае.
