Частичные порядки на $\ast$-регулярных кольцах

Аннотация

В настоящей работе рассматриваются некоторые новые частичные порядки на $\ast$-регулярных кольцах. Пусть $\mathcal{A}$ — $\ast$-регулярное кольцо, $P(\mathcal{A})$ — решетка всех проекторов из $\mathcal{A}$ и $\mu$ — точная нормальная нормированная мера на $P(\mathcal{A}).$ Предположим, что $(\mathcal{A}, \rho)$ — полное метрическое $\ast$-кольцо относительно ранк-метрики $\rho$ на $\mathcal{A}$, определяемую следующим образом $\rho(x, y) = \mu(l(x-y))=\mu (r(x-y))$, $x, y \in \mathcal{A}$, где $l(a), r(a)$ — левый и правый носитель элемента $a$, соответственно. \linebreak На $\mathcal{A}$ определим следующие три частичных порядка: $a \prec_s b \Longleftrightarrow b = a + c$, $a \perp c;$ $a \prec_l b \Longleftrightarrow l(a) b = a;$ $ a \prec_r b \Longleftrightarrow br (a) = a,$ $a\perp c$ означает алгебраическую ортогональность, т.е. $ac = ca = a^\ast c = ac^\ast = 0.$ Доказано, что порядковые топологии, ассоциированные с этими частичными порядками, сильнее чем топология, порожденная метрикой $\rho.$ Рассматриваются сужения этих частичных порядков на подмножества проекторов, унитарных операторов и частичных изометрий $\ast$-регулярной алгебры $\mathcal{A}.$ В частности, показано, что эти три порядка совпадают с обычным порядком $\le$ на решетке проекторов $\ast$-регулярной алгебры. Также показывается, что кольцевые изоморфизмы $\ast$-регулярных колец сохраняют частичные порядки $\prec_l$ и $\prec_r$.