Построение обобщенного решения уравнения первого порядка в дивергентной форме

Аннотация

Рассмотрена задача Коши для уравнения первого порядка в дивергентной форме с правой частью независящей от искомой функции и разрывным начальным условием. Впервые такое уравнение было указано в работе Бюргерса (1940) и является модельным для системы уравнений, описывающим нестационарное движение газа. Различные свойства решения этой задачи рассматривались в работах Олейник О.|А. (1957), Уизема Дж. (1977)(Whitham), Кружкова С.|Н.(1970), Панова Е.|Ю.(2006). Исходная задача сведена к задаче Коши для уравнения Гамильтона–Якоби с непрерывным начальным условием. К этой задаче предложено применить метод сингулярных характеристик, разработанный А. А. Меликяном для игровых задач и задач управления. Эффективность методики продемонстрирована на примере когда в исходном уравнении под знаком производной по пространственной переменной стоит кубический полином от искомой функции, а граничное условие задается в виде “повышающейся” ступеньки. Гамильтониан в модифицированной задаче представляет собой полином третьей степени от частной производной от искомой функции, а граничное условие задается кусочно-линейной, выпуклой вниз функцией с изломом в начале координат. Выделены области параметров, для которых построение обобщенного решения для обеих задач возможно, и описана процедура построения решения. Показано, что решение содержит негладкие особенности, называемые рассеивающей и экивокальной поверхностями согласно терминологии дифференциальных игр. Построение решения проиллюстрировано рисунками.