О существовании знакопеременного решения эллиптических уравнений с выпукло-вогнутыми нелинейностями

Аннотация

В ограниченной связной области $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, $N \geq 1$ с гладкой границей $\partial \Omega$ рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения с выпукло-вогнутой нелинейностью \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u = \lambda |u|^{q-2} u + |u|^{\gamma-2} u, \quad x \in \Omega \\ u|_{\partial \Omega} = 0, \end{cases} \end{equation*} где $1< q< 2< \gamma < 2^*$. В основном результате доказывается существование знакопеременного решения данного уравнения на нелокальном интервале $\lambda \in (-\infty, \lambda_0^*)$, где значение $\lambda_0^*$ задается вариационным принципом нелинейного спектрального анализа по процедуре проективного расслоения.