Об аналитических свойствах функции Вейля оператора Штурма – Лиувилля с комплексным убывающим потенциалом

Аннотация

Изучаются спектральные свойства оператора $L_\beta$, ассоциированного с квадратичной формой $\mathcal{L}_\beta[y]=\int\limits_0^\infty(|y'|^2-\beta x^{-\gamma}|y|^2)dx$ с областью определения ${Q_0=\{y\in W_2^1(0,\infty): y(0)=0\},\ 0<\gamma<2,\ \beta\in\mathbf{C},}$ а также возмущенного оператора $M_\beta=L_\beta +W$. При условии $\left(1+x^{\gamma/2}\right)W\in L^1(0,+\infty)$ доказано существование конечного квантового дефекта дискретного спектра, которое ранее было установлено Л. А. Сахновичем при $\beta>0, \gamma=1,$ вещественном $W,$ удовлетворяющем более жесткому условию убывания на бесконечности. Основной результат статьи — доказательство необходимости полученных ранее Х. Х. Муртазиным достаточных условий на $W(x)$, при которых функция Вейля оператора $M_\beta$ допускает аналитическое продолжение на некоторый угол из нефизического листа.