Регуляризованная асимптотика решений интегродифференциальных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрами

Аннотация

Mетод регуляризации Ломова обобщается на уравнения в частных производных с интегральными операторами, ядро которых содержит быстро изменяющийся экспоненциальный множитель. Исследуется случай, когда верхний предел интегрального оператора совпадает с переменной дифференцирования. Для таких задач развивается алгоритм построения регуляризованной асимптотики. В отличие от работ М.И. Иманалиева, где для аналогичных задач с медленно изменяющимися ядрами исследуется только предельный переход при стремлении малого параметра к нулю, здесь строится асимптотическое решение любого порядка (по параметру). Отметим, что метод регуляризации Ломова применялся в основном для обыкновенных сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений (см. подробную библиографию в конце статьи). В одной из работ авторов был рассмотрен случай уравнения в частных производных с медленно изменяющимися ядрами. Разработка этого метода для уравнений частных производных с быстро изменяющимися ядрами ранее не проводилась. Тип верхнего предела интегрального оператора в таких уравнениях порождает две принципиально разные ситуации. Наиболее трудной является ситуация, когда верхний предел оператора интегрирования не совпадает с переменной дифференцирования. Как показали исследования, в этом случае у интегрального оператора могут возникнуть характеристические значения, и для построения асимптотики потребуются более жесткие условия на исходные данные задачи. Ясно, что эти трудности возникают и при исследовании интегродифференциальной системы с быстро изменяющимся ядром, поэтому в данной работе сознательно избегается случай зависимости верхнего предела интегрального оператора от переменной $x.$ Кроме того, предполагается, что та же закономерность наблюдается и в быстро убывающей экспоненте ядра интегрального оператора. Любые отклонения от этих (казалось бы незначительных) ограничений сильно усложняют задачу с точки зрения построения ее асимптотического решения. Предполагается, что в дальнейшем в наших работах будут продолжены исследования в направлении ослабления этих ограничений.