Системы уравнений свертки в комплексных областях

Аннотация

В данной статье изучаются системы уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций одной переменной. Для таких систем определен аналог интерполирующей функции Леотьева и приведен ряд свойств этой функции. Для изучения этих систем вводится геометрическая разность множеств и приводятся ее свойства. Доказана теорема о представлении произвольных вектор-функций в ряд по элементарным решениям однородной системы уравнений свертки. Эти результаты обобщают некоторые известные результаты А.Ф. Леонтьева о методах суммирования ряда элементарных решений к произвольному решению и усиливают результаты И.Ф. Красичкова-Терновского о суммируемости квадратной системы уравнений свертки. Приводится явный вид областей, в которых сходится ряд элементарных решений для произвольных вектор-функций. Эти области зависят от областей определения вектор-функций, от роста преобразований лапласа элементов системы и от оценок снизу его определителя. Построены примеры, показывающие точность этого результата. Аналогичные результаты получены для решений однородной системы уравнений свертки, и приведены примеры, в которых ряд сходится во всей области определения вектор-функции.