Равномерная сходимость процессов Лагранжа–Штурма–Лиувилля на одном функциональном классе

Аннотация

Установлена равномерная сходимость внутри произвольного интервала $(a,b)\subset [0,\pi]$ значений операторов Лагранжа–Штурма–Лиувилля для функций из класса, определяемого с помощью односторонних модулей непрерывности и изменения. Вне этого интервала последовательность значений операторов Лагранжа–Штурма–Лиувилля может расходиться. Условия, описывающие этот функциональный класс содержат ограничение только на скорость и величину возрастания (или убывания) непрерывной функции. Убывать (или, соответственно, возрастать) представитель предлагаемого класса может сколь угодно быстро. Популярные множества функций, удовлетворяющих условию Дини–Липшица или признака Крылова, являются собственными подмножествами этого класса, даже если в их условиях заменить классические модуль непрерывности и вариацию на односторонние. Получены точные по порядку оценки сверху для функций и констант Лебега процессов Лагранжа–Штурма–Лиувилля. Установлены достаточные условия равномерной сходимости процессов Лагранжа–Штурма–Лиувилля в терминах максимума модуля суммы и максимума суммы модулей взвешенных разностей первого порядка. Приведено доказательство ограниченности в совокупности последовательности фундаментальных функций процессов Лагранжа–Штурма–Лиувилля. Предложено три новых оператора, являющихся модификацией оператора Лагранжа-Штурма-Лиувилля, позволяющих равномерно приближать произвольную непрерывную, исчезающую на концах отрезка, функцию на отрезке $[0,\pi]$. Все результаты работы остаются справедливыми, если односторонние модули непрерывности и изменения заменить на классические.