Аппроксимация решений сингулярных интегродифференциальных уравнений полиномами Эрмита–Фейера

Аннотация

Сингулярные интегральные и интегродифференциальные уравнения имеющие обширные приложения исследовались отечественными и зарубежными математиками с начала 20-го столетия, и к 70-м годам была построена их законченная теория. Из этой теории известно, что такие уравнения имеют точные решения лишь в редких частных случаях, поэтому большое развитие получили приближенные методы решения этих уравнений, а также методики обоснования приближенных методов. Под обоснованием приближенного метода решения операторных уравнений здесь понимается доказательство существования и единственности приближенного решения, оценка его погрешности и доказательство сходимости приближенных решений к точному. Кроме того, для сравнений приближенных методов решения была создана теория их оптимизации. Однако зачастую, в зависимоти от конкретной задачи, существенную роль играет также вид приближенного решения. В частности, иногда желательно иметь приближенное решение в виде сплайна, иногда в виде полинома, иногда достаточно значений искомой функции в узлах. Естественно, что в зависимости от выбора вида приближенного решения выбирается и методика обоснования такого приближенного метода. Однако арсенал методик обоснования приближенных методов пока еще скуден, и поэтому теория обоснования находится в настоящее время в стадии интенсивной разработки. В данной работе обоснован приближенный метод решения полных сингулярных интегродифференциальных уравнений в периодическом случае. Приближенное решение при этом ищется в виде тригонометрического интерполяционного полинома Эрмита–Фейера. Для обоснования этого приближенного метода использована методика разработанная Б.Г. Габдулхаевым и его учениками для обоснования приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений. Доказана сходимость метода, получены оценки погрешности приближенного решения.