Условия отсутствия решений некоторых неравенств и систем с функциональными параметрами и сингулярными коэффициентами на границе

Аннотация

Рассматривается проблема отсутствия положительных решений для некоторых нелинейных эллиптических неравенств в ограниченной области. При этом главные части исследуемых неравенств представляют собой операторы $p(x)$-Лапласа с переменными показателями степени. Младшие члены рассматриваемых неравенств могут зависеть как от значений искомой функции, так и от ее градиента. Предполагается, что коэффициенты младших членов обладают сингулярностями на границе. Насколько известно авторам, ранее условия отсутствия решений для неравенств с переменными показателями степени не рассматривались. Получены достаточные условия отсутствия положительных решений в терминах показателя степени $p(x)$, порядка сингулярности и других параметров задачи. Для доказательства полученных условий используется авторская модификация метода нелинейной емкости, предложенного С.И. Похожаевым. Метод основан на специальном выборе пробных функций в слабой постановке задачи и на алгебраических преобразованиях полученных выражений. Это позволяет получить асимптотически оптимальные априорные оценки решений, приводящие к противоречию при определенном выборе параметров, из чего и делается вывод об отсутствии решений в этой ситуации. Приведено обобщение полученных результатов на случай нелинейных систем с аналогичными условиями на операторы и коэффициенты.