О мерах, порождающих ортогональные многочлены с одинаковым асимптотическим поведением отношения на бесконечности

Аннотация

Изучается влияние возмущения меры на асимптотическое поведение отношения соответстующих ортогональных многочленов. Предполагается, что носитель абсолютно непрерывной части меры сосредоточен на конечном наборе жордановых кривых. На весовую функцию накладывается модифицированное условие Сегё. Сингулярная часть меры состоит из конечного числа точечных нагрузок вне полиномиальной выпуклой оболочки носителя абсолютно непрерывной составляющей меры. Исследуется вопрос о стабильности асимптотики отношения ортогональных многочленов в следующем смысле: $ \frac{P_{\nu,n}(z)}{P_{\nu,n+1}(z)}-\frac{P_{\mu,n}(z)}{P_{\mu,n+1}(z)}\to 0,\;\;n\to\infty$. Задача является обобщением задачи о компактности возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры. Найдено необходимое (а при дополнительных ограничениях необходимое и достаточное) условие сохранения асимптотического поведения ортогональных многочленов. Одним из основных инструментов исследования являются тэта-функции Римана.