«Квантования» изомонодромной гамильтоновой системы $H^{\frac{7}{2}+1}$

Аннотация

Рассматриваются два совместных между собой линейных эволюционных уравнения с временами $s_1$ и $s_2$, зависящие от двух пространственных переменных. Эти эволюционные уравнения представляют собой аналоги временных уравнений Шредингера, определяемых двумя гамильтонианами $H^{\frac{7}{2}+1}_{s_k}(s_1,s_2, q_1,q_2, p_1, p_2)$ $(k=1,2)$ системы $H^{\frac{7}{2}+1}$, которая состоит из пары совместных между собой гамильтоновых систем уравнений, допускающих применение метода изомонодромных деформаций. Из канонических временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами $H^{\frac{7}{2}+1}_{s_k}$, их данные аналоги возникают в результате формальной замены постоянной Планка на мнимую единицу. В терминах решений соответствующих линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений метода изомонодромных деформаций, условием совместности которых является гамильтонова система $H^{\frac{7}{2}+1}$, построены явные решения данных аналогов уравнений Шредингера. В конструкции этих явных решений ключевую роль имеет замена, которая ранее использовалась при построении решений аналогов временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами изомонодромной гамильтоновой системой Гарнье с двумя степенями свободы а также двух изомонодромных вырождений последней. Обсуждается вопрос о применимости данной замены и при построении решений аналогов временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами всей иерархии изомнодромных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, являющихся вырождениями этой системы Гарнье. Отмечена также связь решений гамильтоновых систем $H^{\frac{7}{2}+1}$ с некоторыми задачами современной нелинейной математической физики. В частности, показано, что решения этих гамильтоновых систем явным образом задаются совместными решениями уравнения Кортевега де Вриза $u_t+u_{xxx}+uu_x=0$ и неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения пятого порядка, посредством которых универсальным образом описывается влияние малой дисперсии на трансформации слабых гидродинамических разрывов в сильные.