Оценка скорости роста и убывания функций в теоремах типа Макинтайра–Евграфова

Аннотация

В статье получены два результата о поведении рядов Дирихле на вещественной оси. В первом из них речь идет об оценке снизу суммы ряда Дирихле на системе отрезков вида $[\alpha,\,\alpha+\delta]$. Здесь параметры $\alpha > 0$, $\delta > 0$ таковы, что $\alpha \uparrow + \infty$, $\delta \downarrow 0$. Требуемая асимптотическая оценка установлена при помощи метода, основанного на некоторых неравенствах для экстремальных функций из соответствующего неквазианалитического класса Карлемана. Этот подход оказался более эффективным, чем известные ранее традиционные способы получения подобных оценок. Второй результат существенно уточняет известную теорему М. А. Евграфова о существовании ограниченного на $\mathbb{R}$ ряда Дирихле. Согласно Макинтайру, сумма этого ряда стремится к нулю на $\mathbb{R}$. Здесь доказана конкретная оценка скорости стремления к нулю функции в примере типа Макинтайра–Евграфова.