Представление рядами экспонент функций в локально выпуклых подпространствах $A^\infty (D)$

Аннотация

Пусть $D$ — ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости, $\mathcal M_0=(M_n)_{n=1}^\infty $ — выпуклая последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию “неквазианалитичности”: $$\sum _n\frac {M_n}{M_{n+1}}<\infty ,$$ $\mathcal M_k=(M_{n+k})_{n=1}^\infty$, $k=0,1,2,3,\ldots$ — последовательности, полученные из исходных удалением $k$ первых членов. Далее, для каждой последовательности $\mathcal M_0=(M_n)_{n=1}^\infty $ мы рассматриваем Банахово пространство $H(\mathcal M_0,D)$ аналитических в ограниченной выпуклой области $D$ функций с нормой $$ \|f\| ^2=\sup _n \frac 1{M_n^2}\sup _{z\in D}|f^{(n)}(z)|^2. $$ В работе изучаются локально выпуклые подпространства в пространстве аналитических функций в $D$, бесконечно дифференцируемых в $\overline D$, которые получаются как индуктивный предел пространств $H(\mathcal M_k,D)$. Доказано, что для любой выпуклой области существует система экспонент $e^{\lambda _nz}$, $n\in \mathbb N ,$ такая что любая функция из индуктивного предела $f\in \lim {\text ind}\, H(\mathcal M_k,D):=\mathcal H(\mathcal M_0,D)$ представляется в виде ряда по данной системе экспонент, причем ряд сходится в топологии $\mathcal H(\mathcal M_0,D)$. Основным инструментом в конструкции систем экспонент служат целые функции с заданным асимптотическим поведением. Характеристические функции $L$, имеющие более точные асимптотические оценки, позволяют представлять аналитические функции посредством ряда из экспонент в пространствах с более тонкой топологией. В работе построены целые функции с тонкими асимптотическими оценками. Дополнительно получены оценки снизу производных этих функций в нулях.