Оценка уклонения логарифма максимального члена ряда Дирихле при композиции по Адамару

Аннотация

Исследуется задача об оценке степени эквивалентности логарифмов максимальных членов адамаровской композиции (измененного ряда)
$ \sum \limits_{n} a_nb_ne^{\lambda_nz}$ рядов Дирихле $\sum \limits_{n} a_ne^{\lambda_nz} $ и $\sum \limits_{n} b_ne^{\lambda_nz}$ с положительными
показателями, области сходимости которых есть полуплоскость. Аналогичная задача для целых рядов Дирихле впервые изучалась А.М.Гайсиным в 2003 году~--- им был тогда получен критерий устойчивости максимального члена $\mu(\sigma)=\max \limits_{n\geq 1}\{{\vert a_n\vert} e^{\lambda_n\sigma}\}. $ Этот результат оказался полезным при изучении асимптотических свойств ряда Дирихле на произвольных кривых, уходящих в бесконечность, а именно при доказательстве известной гипотезы Полиа.

Как в случае целых рядов Дирихле, и в случае рядов, сходящихся лишь в полуплоскости, в задачах такого типа ключевую роль играют формулы А.Ф.~Леонтьева для коэффициентов. Функции соответствующей биортогональной системы содержат множитель — обратную величину производной характеристической функции в точках $\lambda_n,$ $n\geq 1.$
Это обстоятельство естественным образом и приводит к рассматриваемой здесь постановке задачи о количественной характеристике устойчивости максимального члена. Этот вопрос актуален с точки зрения его приложений к проблеме о минимуме модуля целой трансцендентной функции и к другим близким задачам анализа и комплексной динамики.

В терминах оценки уклонения получено условие того, чтобы логарифм максимального члена ряда Дирихле на асимптотическом множестве был эквивалентным логарифму максимального члена измененного ряда.