О новых представлениях значений дзета-функции Римана в нечетных точках и связанных с ними чисел

Аннотация

Пусть $\zeta(s)$ и $\beta(s)$ — дзета-функция Римана и бета-функция Дирихле. В работе методами спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, порождённых в гильбертовом пространстве $\mathcal{L}^2[0,\pi]$ выражением $l[y]=-y''-a^2y$, где $a$ - параметр, и граничными условиями Дирихле, для некоторых определённых линейных комбинаций чисел $\zeta(2n+1)$ и $\beta(2n)$ получены новые представления в виде рядов, общий член которых содержит логарифмы. Из них, в частности, следуют хорошо известные и некоторые новые представления этих линейных комбинаций в виде сумм достаточно быстро сходящихся рядов, общий член которых содержит $\zeta(2n)$. Полученные результаты применяются к различным представлениям постоянных Каталана $\beta(2)$ и Апери $\zeta(3)$.