Об одном подходе к изучению стохастических уравнений леонтьевского типа с импульсными воздействиями

Аннотация

Изучается система стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, у которой в левой части имеется вырожденный постоянный линейный оператор. В правой части системы имеется постоянный линейный оператор и детерминированное слагаемое, которое зависит только от времени, а также импульсные воздействия. Предполагается, что коэффициент диффузии данной системы задается квадратной матрицей, зависящей только от времени. Данные системы уравнений встречаются во многих приложениях. Изучаемая в работе система с применением преобразования регулярного пучка матриц к обобщенной вещественной форме Шура приводится к каноническому виду. Для исследования полученных канонических уравнений необходимо рассмотрение производных достаточно высоких порядков от свободных членов, включая винеровский процесс. В связи с этим для дифференцирования винеровского процесса мы применяем аппарат производных в среднем по Нельсону от случайных процессов, что позволяет при исследовании уравнения не применять аппарат теории обобщенных функций. В результате получаются аналитические формулы для решений уравнения в терминах производных в среднем случайных процессов.