Инвариантные подпространства в полуплоскости

Аннотация

Изучаются подпространства функций аналитических в полуплоскости и инвариантных относительно оператора дифференцирования. Частным случаем инвариантного подпространства является пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Известно, что каждое решение такого уравнения представляет из себя линейную комбинацию элементарных решений — экспоненциальных мономов, показатели которых являются нулями (возможно кратными) характеристического многочлена. Наличие этого представления называется фундаментальным принципом Л. Эйлера. Другими частными случаями инвариантных подпространств являются пространства решений линейных однородных дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами как конечного, так и бесконечного порядков, а также более общих уравнений свертки и их систем. В работе исследуется задача фундаментального принципа для произвольных инвариантных подпространств аналитических функций в полуплоскости. Другими словами, изучается представление всех функций из инвариантного подпространства рядами экспоненциальных мономов. Эти экспоненциальные мономы являются собственными и присоединенными функциями оператора дифференцирования в инвариантном подпространстве. В работе получено разложение произвольного инвариантного подпространства аналитических функций на сумму двух инвариантных подпространств. Доказывается, что инвариантное подпространство в любой неограниченной области может быть представлено как сумма двух инвариантных подпространств. Их спектры соответствуют ограниченной и неограниченной частям выпуклой области. На основе этого результата получен простой геометрический критерий фундаментального принципа для инвариантного подпространства аналитических функций в полуплоскости. Он формулируется лишь при помощи индекса конденсации А.С. Кривошеева последовательности показателей указанных экспоненциальных мономов.