Вырожденные дробные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах с $\sigma$-регулярной парой операторов

Аннотация

Рассмотрено вырожденное дифференциальное уравнение дробного порядка $D^\alpha_tLu(t)=Mu(t)$ в отделимом секвенциально полном локально выпуклом пространстве. При условии $p$-регулярности пары операторов $(L,M)$ найдено фазовое пространство уравнения и его семейство разрешающих операторов. Показано, что образ единицы последнего совпадает с фазовым пространством. Доказана теорема об однозначной разрешимости и получен вид решения задачи Коши для соответствующего неоднородного уравнения. Приведен пример применения полученных абстрактных результатов к исследованию разрешимости класса начально-краевых задач для уравнений в частных производных, содержащих целые функции от неограниченного оператора в банаховом пространстве, в специальным образом построенных пространствах Фреше. Это позволило рассмотреть, например, периодическую по пространственной переменной $x$ задачу для уравнения со сдвигом по $x$, имеющего дробный порядок производной по временно́й переменной $t$.