Integral inequalities invariant under conformal transformations

Abstract

Пользуясь метрикой Пуанкаре, мы определяем конформно инвариантные интегралы для гладких финитных функций,
заданных в областях гиперболического типа на расширенной плоскости. Для этих интегралов, содержащих гиперболический радиус, гладкую функцию, ее градиент или лапласиан, рассматриваются конформно инвариантные аналоги неравенств типа Харди и Реллиха с константами, зависящими от области. Мы даем явные оценки констант, пользуясь числовыми характеристиками области, а именно, максимальными модулями области и геометрической константой, входящей в линейное гиперболическое изопериметрическое неравенство.

В статье нами доказаны несколько новых утверждений. В частности, обоснован критерий положительности констант для конечно-связных областей гиперболического типа и доказаны несколько интегральных неравенств, универсальных в том смысле, что эти неравенства не содержат неопределенных констант и справедливы в любой области гиперболического типа.

В начале статьи кратко изложены свойства гиперболического радиуса, а также описаны несколько родственных результатов. В частности, указаны результаты Шмидта, Оссермана, Фернандеса и Родригеса по гиперболическим изопериметрическим неравенствам и их применениям, дана формула Элстродта-Паттерсона-Салливана для критических показателей сходимости рядов Пуанкаре-Дирихле, а также приведен результат Карлесона и Гамелина по максимальным модулям области с равномерно совершенной границей.