О равномерной сходимости полуаналитического решения задачи Дирихле для диссипативного уравнения Гельмгольца вблизи границы двумерной области

Аннотация

В рамках коллокационного метода граничных элементов предлагается полуаналитическая аппроксимация потенциала двойного слоя, обеспечивающая равномерную кубическую сходимость приближенного решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерной ограниченной области или ее внешности с границей класса $C^5$. Для вычисления интегралов на граничных элементах используется точное интегрирование по переменной $\rho:=(r^2-d^2)^{1/2}$, где $r$ и $d$ — расстояния от наблюдаемой точки до точки интегрирования и до границы области соответственно. При некоторых упрощениях доказано, что использование ряда традиционных квадратурных формул приводит к нарушению равномерной сходимости аппроксимаций потенциала вблизи границы области. Теоретические выводы подтверждены результатами численного решения задачи в круговой области.