Об устойчивости точек равновесия нелинейных непрерывно-дискретных динамических систем

Аннотация

Основное внимание в работе уделяется обсуждению вопросов о достаточных признаках устойчивости по Ляпунову точек равновесия нелинейных гибридных (непрерывно-дискретных) систем, т.е. систем, процессы в которых имеют несколько уровней разнородного описания, а состояния содержат как непрерывные, так и дискретные компоненты. Хорошо известно, что переключениями неустойчивых режимов непрерывной динамической системы можно добиться их устойчивости и, наоборот, даже когда все режимы непрерывной системы устойчивы, при их переключении у системы могут возникать неустойчивые режимы. Поэтому важными представляются исследования, позволяющие провести детальный анализ вопросов устойчивости при переходе от непрерывной к гибридной системе. В настоящей статье предлагаются новые признаки устойчивости по Ляпунову стационарных режимов нелинейных гибридных систем с постоянным шагом $h>0$ дискретизации. Эти признаки основаны на методах исследования устойчивости по первому приближению и формулах теории возмущений, позволяющих провести анализ устойчивости точек равновесия и циклов динамических систем, зависящих от малого параметра. Предлагаемые подходы основаны на переходе от исходной гибридной системы к равносильной (в естественном смысле) динамической системе с дискретным временем. Обсуждается взаимосвязь между динамическими характеристиками гибридной и дискретной систем. При изучении основной задачи об устойчивости по Ляпунову точки равновесия гибридной системы рассматриваются две постановки: устойчивость при малых $h>0$ и устойчивость при произвольных фиксированных $h=h_{0}>0$. Кроме этого, обсуждаются некоторые вопросы о сценариях бифуркационного поведения гибридной системы при потере устойчивости точки равновесия. Приводится пример, иллюстрирующий эффективность полученных результатов в задаче исследования устойчивости точек равновесия гибридных систем.