Экстремальные задачи в теории центрального индекса Вимана-Валирона
Ключевые слова:
теория Вимана-Валирона, центральный индекс, определяющая последовательность, регуляризация, экстремальная задача.Аннотация
Рассмотрены некоторые свойства центрального индекса в теории Вимана-Валирона. Вводятся понятие определяющей последовательности центрального индекса \nu(r), соответствующего фиксированной трансцендентной функции f, и понятие определяющей последовательности произвольного фиксированного центрального индекса \nu(r). Пусть \rho_1,\rho_2,\dots,\rho_s,\dots – точки скачков функции \nu(r) с учетом их кратностей. Это означает, что если в точке \rho_s величина скачка равна m_s, то в написанной выше последовательности величина \rho_s встречается m_s раз. Такая последовательность называется определяющей последовательностью функции \nu(r). Вводится понятие регуляризации функции \nu(r), которая применяется для доказательства основных утверждений. Изучены две экстремальные задачи в классе функций с заданным центральным индексом. Получено выражение максимума модуля экстремальной функции через ее центральный индекс. Основные полученные результаты таковы. Пусть T_\nu — множество всех трансцендентных функций f с заданным центральным индексом \nu(r), M(r,f)=\max\{|f(re^{i\theta})|:0\leqslant\theta\leqslant2\pi\}, и пусть M(r,\nu)=\sup\{M(r,f):f\in T_\nu\}. Тогда для любого r>0 величина M(r,\nu) в классе функций T_{\nu} достигается на функции (одной и той же для любого r>0). Приводится вид такой экстремальной функции. Доказывается также, что при любом фиксированном r_0>0 и при любом заданном центральном индексе \nu(r) в классе T_\nu существует функция f_0(z) такая, что M(r_0,f_0)=\inf\{M(r_0,f):f\in T_\nu\}.Загрузки
Опубликован
20.03.2021
Выпуск
Раздел
Статьи