Экстремальные задачи в теории центрального индекса Вимана-Валирона

Аннотация

Рассмотрены некоторые свойства центрального индекса в теории Вимана-Валирона. Вводятся понятие определяющей последовательности центрального индекса $\nu(r)$, соответствующего фиксированной трансцендентной функции $f$, и понятие определяющей последовательности произвольного фиксированного центрального индекса $\nu(r)$. Пусть $\rho_1,\rho_2,\dots,\rho_s,\dots$ – точки скачков функции $\nu(r)$ с учетом их кратностей. Это означает, что если в точке $\rho_s$ величина скачка равна $m_s$, то в написанной выше последовательности величина $\rho_s$ встречается $m_s$ раз. Такая последовательность называется определяющей последовательностью функции $\nu(r)$. Вводится понятие регуляризации функции $\nu(r)$, которая применяется для доказательства основных утверждений. Изучены две экстремальные задачи в классе функций с заданным центральным индексом. Получено выражение максимума модуля экстремальной функции через ее центральный индекс. Основные полученные результаты таковы. Пусть $T_\nu$ — множество всех трансцендентных функций $f$ с заданным центральным индексом $\nu(r)$, $M(r,f)=\max\{|f(re^{i\theta})|:0\leqslant\theta\leqslant2\pi\}$, и пусть $M(r,\nu)=\sup\{M(r,f):f\in T_\nu\}$. Тогда для любого $r>0$ величина $M(r,\nu)$ в классе функций $T_{\nu}$ достигается на функции (одной и той же для любого $r>0$). Приводится вид такой экстремальной функции. Доказывается также, что при любом фиксированном $r_0>0$ и при любом заданном центральном индексе $\nu(r)$ в классе $T_\nu$ существует функция $f_0(z)$ такая, что $M(r_0,f_0)=\inf\{M(r_0,f):f\in T_\nu\}$.