О семействах изоспектральных краевых задач Штурма–Лиувилля

Аннотация

Работа посвящена обратной спектральной задаче об описании всех краевых задач Штурма–Лиувилля на конечном отрезке с одним и тем же спектром. Такие краевые задачи называются изоспектральными и были изучены в работах E.L. Isaacson, H.P. McKean, B.E. Dahlberg, E. Trubowitz, M. Jodeit, B.M. Levitan, Y.A. Ashrafyan, T.N. Harutyunyan. В настоящее время имеются разные методы решения обратных спектральных задач: метод оператора преобразования, т.е. метод Гельфанда–Левитана, метод спектральных отображений, метод эталонных моделей и другие. В.А. Марченко показал, что оператор Штурма–Лиувилля на конечном отрезке определяется однозначно по его собственным значениям и последовательности нормирующих констант, т.е. по спектральной функции. И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном были найдены необходимые и достаточные условия восстановления краевых задач Штурма–Лиувилля по их спектральным функциям. Этот метод основан на восстановлении потенциала и краевых условий по спектральным данным с помощью интегрального уравнения Фредгольма второго рода с параметрами. При построении изоспектральных краевых задач Штурма–Лиувилля с заданным спектром $n^{2},n \ge 0$, нами использован метод Гельфанда–Левитана. Основным результатом работы является алгоритм, восстановления семейства краевых задач $L=L(q(x),h, H)$ Штурма–Лиувилля, спектры которых удовлетворяют условию $\sigma(L)=\{n^2,n\ge o\}$ . При этом найденные коэффициенты $ q=q(x, \gamma_1, \gamma_2, \ldots),h=h(\gamma_1, \gamma_2, \ldots),H=H(\gamma_1, \gamma_2, \ldots)$ зависят от бесконечного числа параметров $\gamma_j, j= \overline{1,\infty}$.