Об асимптотической сходимости полиномиального метода коллокаций для одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений

Аннотация

Среди приближенных методов решения операторных уравнений наиболее употребительными являются методы коллокаций и Галеркина. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Так, методы Галеркина применяются для уравнений в гильбертовых пространствах, и погрешности решений, полученных этими методами, имеют порядки наилучших приближений точных решений. Однако методы Галеркина не всегда конструктивны, так как для их реализации требуется вычислять интегралы, что не всегда можно сделать явно. Методы коллокаций применяются для уравнений, заданных в пространствах непрерывных функций, и поэтому всегда конструктивны. Однако погрешности решений, полученные методами коллокаций, по порядку обычно меньше, чем порядки наилучшего приближения точного решения. В данной работе для одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на отрезке обоснован полиномиальный метод коллокации. Для обоснования впервые для таких уравнений была применена методика сведения обоснования метода коллокаций к обоснованию метода Галеркина. Для периодического случая такая методика была впервые использована автором для обоснования метода коллокаций для сингулярных интегро-дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений. Для уравнений, заданных на разомкнутом контуре, эта методика использована впервые. Кроме того, впервые доказана ограниченность нормы интерполяционного оператора Лагранжа в пространствах Соболева $H_q^s$, $s>1/2$, с весом Чебышева второго рода. Именно этот результат позволил показать, что и для уравнений в непериодическом случае полиномиальный метод коллокаций обеспечивает такую же скорость сходимости, что и метод Галеркина.