Распределение нулей обобщенных полиномов Эрмита

Аннотация

Посвящается 80-летию со дня рождения И. Ф. Красичкова-Терновского. Вычисление асимптотики ортогональных полиномов является классической задачей анализа. В статье найдено асимптотическое распределение нулей обобщенных полиномов Эрмита $H_{m,n}(z)$ при $m=n$, $n\to\infty$, $z=O(\sqrt n)$. Эти полиномы, представляющие собой вронскианы от классических полиномов Эрмита, возникают во многих задачах математической физики и теории случайных матриц. Вычисление асимптотики основано на применении задачи Римана к уравнению Пенлеве IV, решениями которого являются функции $u(z)=-2z+\partial_z\ln H_{m,n+1}(z)/H_{m+1,n}(z)$. В указанном скейлинговом пределе эта задача Римана имеет асимптотическое решение в элементарных функциях. В результате получаются формулы типа Планшереля–Ротаха для асимптотики классических полиномов Эрмита.