О нулях и тейлоровских коэффициентах целой функции логарифмического роста

Аннотация

В статье для важного класса целых функций нулевого порядка выявляются непосредственные, прямые связи между скоростью стремления к бесконечности последовательности нулей и скоростью стремления к нулю последовательности тейлоровских коэффициентов. Применяя коэффициентную характеризацию роста целых функций и некоторые тауберовы теоремы из выпуклого анализа, мы получаем точные асимптотические оценки, связывающие нули~$\lambda_n$ и спрямленные по Адамару тейлоровские коэффициенты~$\hat{f_n}$ для целых функций логарифмического роста. В ситуациях, когда функция обладает той или иной регулярностью поведения, упомянутые оценки переходят в точные асимптотические формулы. Например, если целая функция имеет регулярный по Борелю рост и точка $a=0$ не является ее борелевским исключительным значением, то при $n\to\infty$ справедливо асимптотическое равенство $\ln |\lambda_n|\sim \ln(\hat{f}_{n-1}/\hat{f_n})$. Результат верен и для функций совершенно регулярного логарифмического роста, причем в последнем случае дополнительно можно утверждать, что $\ln|\lambda_1\lambda_2\,\ldots\,\lambda_n|\sim\ln\hat{f_n}^{-1}$ при $n\to\infty$.