Краевая задача для обобщенного уравнения Коши–Римана в пространствах, описываемых модулем непрерывности

Аннотация

Работа посвящена задаче Дирихле в единичном круге $G$ для $\partial_{\bar z}w+b(z)\overline w=0$, $\Re w=g$ на $\partial G$, $\Im w=h$ в точке $z_0=1$, где $g$ – заданная непрерывная по Липшицу функция. Коэффициент $b$ принадлежит подпространству из $L_2(G)$, которое в общем случае не содержится в $L_q(G)$, $q>2$. Теория И. Н. Векуа в этом случае, вообще говоря, неприменима. Показывается, что, как и в случае задачи Дирихле для голоморфных функций, возникает “логарифмический эффект”. Решение $w=w(z)$ вне точки $z=0$ удовлетворяет условию Липшица с логарифмическими множителями. Доказывается существование непрерывного в $\overline G$ решения задачи.