О функционалах энергии для эллиптических систем второго порядка c постоянными коэффициентами

Аннотация

В работе рассматривается задача Дирихле для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами. Показано, что для неразделимых сильно эллиптических систем указанного вида не существует неотрицательно определенных функционалов энергии вида $$ f\mapsto\int_{D}\varPhi(u_x,v_x,u_y,v_y)\,dxdy, $$ где $D$ — область, в которой рассматривается задача, $\varPhi$ — квадратичная форма в $\mathbb R^4$, а $f=u+iv$ — функция комплексного переменного. Доказательство основано на приведении рассматриваемой системы к специальному (каноническому) виду, когда задающий эту систему дифференциальный оператор представляется в виде возмущения оператора Лапласа по двум малым вещественным параметрам (каноническим параметрам рассматриваемой системы). В частности, полученный результат показывает, что непосредственное распространение классической теоремы Лебега (о регулярности произвольной ограниченной односвязной области в комплексной плоскости относительно задачи Дирихле для гармонических функций) на сильно эллиптические уравнения второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами общего вида не представляется возможным. Это обстоятельство проясняет ряд сложностей, которые возникают в этой задаче, являющейся весьма важной для теории приближений аналитическими функциями.