Асимптотическое разложение решения задачи Дирихле в перфорированной области: случай странного члена

Аннотация

Рассматривается эллиптический оператор в многомерном пространстве, периодически перфорированном близко расположенными малыми полостями. Коэффициенты дифференциального выражения переменные, комплекснозначные, бесконечно дифференцируемые и равномерно ограниченные вместе со всеми своими производными. Для коэффициентов при старших производных предполагается выполнение равномерного условия эллиптичности. На границах полостей задается краевое условие Дирихле. Размеры полостей и расстояния между ними характеризуются двумя малыми параметрами. Эти параметры выбираются так, чтобы гарантировать возникновение странного члена при усреднении — дополнительного потенциала в усредненном операторе. Основной результат работы — схема построения двупараметрической асимптотики резольвенты рассматриваемого оператора и ее применение для определения первых членов асимптотик. Схема основана на комбинации метода многих масштабов и метода согласования асимптотических разложений. Первый используется для учета распределения полостей, второй — для учета геометрии отверстия и краевого условия Дирихле на границах полостей.