О классе периодических функций в ${\mathbb R}^n$

Аннотация

При помощи некоторого семейства ${\mathcal H}$ раздельно радиальных выпуклых в ${\mathbb R}^n$ функций определено пространство $G({\mathcal H})$ $2 \pi$-периодических по каждой переменной бесконечно дифференцируемых в ${\mathbb R}^n$ функций с заданными оценками на все частные производные. Получено описание пространства $G({\mathcal H})$ в терминах коэффициентов Фурье. Найдены условия на семейство ${\mathcal H}$, при которых функции из $G({\mathcal H})$ допускают продолжение до функций, голоморфных в трубчатой области в ${\mathbb C}^n$. Получено внутреннее описание пространства таких продолжений. Рассматриваемые нами задачи имеют прямое отношение к работам П.Л. Ульянова конца 1980-х годов, в которых ему удалось полностью охарактеризовать классы $2\pi$-периодических функций типа Жевре на числовой прямой не только через скорость убывания коэффициентов Фурье, но и через наилучшие тригонометрические приближения. Полученные в работе результаты являются новыми как для случая многих переменных, так и для случая одной переменной. В частности, новизна достигается за счет наложения условия $i_4$) на семейство ${\mathcal H}$.