Алгебраические редукции дискретных уравнений типа Хироты-Мивы

Аннотация

Для нелинейных дискретных уравнений в размерности $1+1$ имеются легко проверяемые симметрийные критерии интегрируемости, которые лежат в основе классификационных алгоритмов. Актуальная проблема создания эффективных методов классификации интегрируемых дискретных уравнений с тремя и более независимыми переменными остается открытой, поскольку в многомерье симметрийный подход теряет свою эффективность из-за трудностей, связанных с нелокальностями. В наших недавних работах мы обнаружили характерное свойство дискретных уравнений в 3D, которое, по-видимому, является эффективным критерием интегрируемости трехмерных уравнений. Выяснилось, что многие известные интегрируемые цепочки, включая уравнения типа двумеризованной цепочки Тоды, уравнения типа Тоды с одной непрерывной и двумя дискретными независимыми переменными, уравнения типа Хироты-Мивы, где все независимые переменные являются дискретными, характеризуются тем, что они допускают обрывы специального вида по одной из дискретных переменных, которые сводят цепочку к системе уравнений с двумя независимыми переменными, обладающей повышенной интегрируемостью, они имеют полные наборы интегралов по каждой из характеристик, т.е. являются интегрируемыми в смысле Дарбу. Другими словами характеристические алгебры полученных конечно-полевых систем имеют конечную размерность. В настоящей работе мы приводим примеры, подтверждающие гипотезу о том, что наличие иерархии интегрируемых в смысле Дарбу двумерных редукций присуще всем интегрируемым дискретным уравнениям типа Хироты-Мивы. А именно мы проверяем, что решеточное уравнение Тоды и ее модифицированный аналог также допускают упомянутые выше редукции.