О наименьшем типе целой функции с заданной подпоследовательностью нулей

Аннотация

Настоящая заметка написана по материалам доклада авторов на Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа – 2021». Обсуждается следующая задача. Пусть заданы нецелое число $\rho>0$ и последовательность комплексных чисел $\Lambda$, имеющая конечную верхнюю $\rho$-плотность. Тогда, как известно из классической теоремы Линделефа, существует (отличная от тождественного нуля) целая функция $f$ конечного типа при порядке $\rho$, для которой $\Lambda$ является последовательностью (всех) нулей. Спрашивается, как сильно может измениться тип такой функции, если позволить ей помимо элементов из $\Lambda$ иметь другие нули, причем произвольной кратности. Показаны возможности применения одной общей теоремы, доказанной по означенной задаче Б.Н. Хабибуллиным в 2009 году. С этой целью привлекаются результаты последнего времени, содержащие точные формулы для вычисления экстремального типа в классах целых функций с различными ограничениями на распределение нулей. Случай целого $\rho$ обладает своей спецификой и в данной работе практически не рассматривается.