Максимальный член ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости: теорема об устойчивости

Аннотация

Исследуется задача об эквивалентности логарифмов максимальных членов адамаровской композиции (измененного ряда) $ \sum \limits_{n} a_nb_ne^{\lambda_nz}$ рядов Дирихле $\sum \limits_{n} a_ne^{\lambda_nz} $ и $\sum \limits_{n} b_ne^{\lambda_nz}$ с положительными показателями, область сходимости которых есть полуплоскость. Аналогичная задача для целых рядов Дирихле впервые изучалась А.М. Гайсиным в 2003 году — им был тогда получен критерий устойчивости максимального члена $\mu(\sigma)=\max \limits_{n\geq 1}\{{\vert a_n\vert} e^{\lambda_n\sigma}\}. $ Этот результат оказался весьма полезным при изучении асимптотических свойств ряда Дирихле на произвольных кривых, уходящих в бесконечность, а именно при доказательстве известной гипотезы Полиа. Как в случае целых рядов Дирихле, и в случае рядов, сходящихся лишь в полуплоскости, в задачах такого типа ключевую роль играют формулы А.Ф. Леонтьева для коэффициентов. Функции соответствующей биортогональной системы содержат множитель — производную характеристической функции в точках $\lambda_n$ $(n\geq 1).$ Это обстоятельство естественным образом и приводит к рассматриваемой здесь постановке задачи об устойчивости максимального члена. Получен критерий того, чтобы логарифм максимального члена ряда Дирихле, область сходимости которого есть полуплоскость, на асимптотическом множестве был эквивалентным логарифму максимального члена измененного ряда.