Применение производящих функций к задачам случайного блуждания

Аннотация

Мы рассматриваем задачу определения времени первого достижения положительной полуоси при однородном дискретном целочисленном случайном блуждании на прямой. Более конкретно, объектом нашего исследования является график производящей функции вышеупомянутой случайной величины. Для случайного блуждания с максимальным положительным приращением $1$ получено уравнение, задающее производящую функцию в неявном виде, из которого следует рациональность функции, обратной к производящей. Описан общий метод получения систем уравнений для нахождения производящей функции времени первого достижения положительной полуоси при однородном дискретном целочисленном случайном блуждании на прямой. Для случайного блуждания с приращениями $-1, 0, 1, 2$ выведено алгебраическое уравнение, задающее производящую функцию в неявном виде. Доказана рациональность соответствующей плоской алгебраической кривой, содержащей график производящей функции. Сформулировано и доказано несколько общих свойств производящей функции времени первого достижения положительной полуоси при однородном дискретном целочисленном случайном блуждании на прямой.