О $C^1$-сходимости кусочно-полиномиальных решений вариационного уравнения $4$-го порядка

Аннотация

В настоящей работе для вариационного уравнения $4$-го порядка рассматривается краевая задача в многоугольной области. Предполагается, что данная область разбита на конечное число треугольников, образующих ее триангуляцию. Вводится класс кусочно-полиномиальных функций заданной степени и для рассматриваемого уравнения определяется понятие кусочно-полиномиального решения на треугольной сетке. Доказана теорема существования и единственности такого решения. Кроме того, установлено, что при определенных условиях на триангуляцию области вторые производные кусочно-полиномиальных решений оцениваются постоянной, независящей от мелкости разбиения. Данное обстоятельство позволило доказать $C^1$-сходимость кусочно-полиномиальных решений уравнения при стремлении к нулю мелкости разбиения сетки.