Эта-инвариант для семейств с параметром и периодическими коэффициентами

Аннотация

На гладком замкнутом многообразии рассматривается семейство операторов вида линейной комбинации псевдодифференциальных операторов с параметром с периодическими коэффициентами. Такие семейства возникают при исследовании нелокальных эллиптических задач на многообразиях с изолированными особенностями и/или с цилиндрическими концами. Цель работы — построить $\eta$-инвариант для обратимых семейств и установить его свойства. Мы следуем подходу Мельроуза, который рассматривал $\eta$-инвариант как обобщение числа вращения, равного интегралу от следа логарифмической производной семейства. При этом $\eta$-инвариант Мельроуза равен регуляризованному интегралу регуляризованного следа логарифмической производной семейства. В нашей ситуации для регуляризации следа используется оператор разностного дифференцирования (вместо обычного дифференцирования у Мельроуза). Основным техническим результатом является тот факт, что оператор разностного дифференцирования осуществляет изоморфизм между пространствами функций с конормальной асимптотикой на бесконечности, что и позволяет определить регуляризованный след. Поскольку полученный регуляризованный след может возрастать на бесконечности, также вводится регуляризация для интеграла. Наша регуляризация интеграла включает операцию усреднения. Далее устанавливаются основные свойства $\eta$-инварианта. А именно, $\eta$-инвариант в смысле данной работы удовлетворяет логарифмическому свойству, а также является обобщением $\eta$-инварианта Мельроуза, \linebreak т.е. совпадает с последним в случае обычных псевдодифференциальных операторов с параметром. Наконец, предъявляется формула для вариации $\eta$-инварианта при изменении семейства.