Метод Фурье, связанный с ортогональными сплайнами, в параболической начально-краевой задаче для области с криволинейной границей

Аннотация

Метод Фурье позволяет находить решения краевых и начально-краевых задач для уравнений в частных производных, допускающих разделение переменных. Но применение метода для решения задач многих типов встречается со значительными трудностями. Одно из направлений расширения области применения метода Фурье – преодоление сопутствующих методу математических проблем, порожденных, например, характером граничных условий. Другое направление связано с применением специальных функций при решении задач для областей классических форм, определяемых координатными линиями и поверхностями ортогональных криволинейных систем координат. Но такой подход в общем случае задач для областей с криволинейными границами является неэффективным. Направления развития метода Фурье решения задач для областей с криволинейными границами связаны также, во-первых, с созданием и применением вариационно-сеточных и проекционно-сеточных методов и, во-вторых, с модификацией самого метода Фурье. Данная статья относится ко второму из этих направлений и ориентирована на такое расширение области применения метода Фурье, которое определяется построением последовательности конечных обобщенных рядов Фурье, связанных с ортогональными сплайнами и дающих аналитические решения параболической начально-краевой задачи в области с криволинейной границей. В параболической начально-краевой задаче для области с криволинейной границей предлагается и исследуется алгоритм метода Фурье, связанный с применением ортогональных сплайнов. Формируемая этим алгоритмом последовательность конечных обобщенных рядов Фурье в каждый момент времени сходится к точному решению задачи – бесконечному ряду Фурье. При увеличении числа узлов сетки в рассматриваемой области, имеющей криволинейную границу, структура конечных рядов Фурье сближается со структурой бесконечного ряда Фурье, представляющего собой точное решение начально-краевой задачи. Метод дает сколь угодно точные приближенные аналитические решения задачи в форме ортогональных рядов – обобщенных рядов Фурье, открывая новые возможности классического метода Фурье.