Ультрапроизведения квантово-механических систем

Аннотация

Изучение ультрапроизведений для различных пространств мотивировано интересом к методам нестандартного математического анализа, который оперирует бесконечно малыми (или бесконечно большими) последовательностями, как если бы они были числами. С одной стороны, пространство, которое получается как теоретико-множественное ультрапроизведение последовательности пространств, становится очень «богатым». Но, с другой стороны, оно теряет некоторые привлекательные свойства своих сомножителей. В частности, у него нет естественной хаусдорфовой топологии, порожденной его сомножителями, и естественная $\sigma$-алгебра измеримых подмножеств не является счетно-порожденной. Если пространство удается «вложить» в свою ультраcтепень с сохранением требуемых свойств, то использование метода ультрапроизведений дает некоторые преимущества в доказательстве многих «стандартных» утверждений. Чтобы сохранить различные свойства сомножителей, необходимо изменить конструкцию ультрапроизведения. Например, при изменении этой конструкции становится возможным сохранить хаусдорфову топологию, структуру нормированного пространства, структуру операторных алгебр, алгебр фон Неймана и так далее. В этой статье мы обсуждаем стохастические свойства так называемых квантово-механических систем в довольно абстрактной форме. Такие системы (структуры) встречаются в теории вероятностей, в теории операторных алгебр и в теории топологических векторных пространств. Также определены ультрапроизведения для последовательностей таких структур и исследованы определенные свойства этих ультрапроизведений. Понятие наблюдаемого в структуре событий является аналогом случайной величины, определенной в вероятностном пространстве. Наблюдаемое естественным образом задается в ультрапроизведении квантово-механических систем, которое определено в настоящей статье. Мы изучаем его вероятностные характеристики. Более того, ультрапроизведения квантовых логик также рассматриваются в рамках ультрапроизведений квантово-механических систем.