О дискретном спектре одного двухчастичного решетчатого гамильтониана

Аннотация

Линейные самосопряженные операторы в модели Фридрихса возникают в различных областях, например, в теории возмущения спектра самосопряженных операторов, в квантовой теории поля, в теории двухчастичных и трехчастичных дискретных операторов Шредингера, в гидродинамике и т.д. Оператор H в модели Фридрихса представляется суммой двух операторов в гильбертовом пространстве $L_2(\Omega)$, т.е. $H=H_0+\varepsilon K$, $\varepsilon>0$, где $H_0$ – оператор умножения функции, $K$ – компактный интегральный оператор. Для операторов в модели Фридрихса необходимо решить следующие задачи: 1) при каких условиях дискретный спектр является пустым множеством? 2) при каких условиях дискретный спектр является непустым множеством? 3) найти условия, достаточные для того, чтобы у оператора в модели Фридрихса дискретный спектр был конечным множеством; 4) найти условия, достаточные для того, чтобы у оператора в модели Фридрихса дискретный спектр был бесконечным множеством. Известно, что если ядро интегрального оператора в модели вырожденное, то дискретный спектр соответствующего оператора в модели Фридрихса является конечным множеством. Следовательно, для того, чтобы у оператора в модели Фридрихса дискретный спектр был бесконечным множеством необходимо, чтобы интегральный оператор в модели был невырожденным. В статье рассматриваются линейные ограниченные самосопряженные операторы в модели Фридрихса, у которых интегральный оператор в модели с невырожденным ядром. Настоящая работа посвящена изучению первого и четвертого вопросов. Получен один признак бесконечности дискретного спектра операторов в модели Фридрихса. Исследован дискретный спектр одного двухчастичного дискретного оператора Шредингера $Q(\varepsilon)$ на решетке $\mathbb{Z}^{\nu}\times\mathbb{Z}^{\nu}$ (где $\nu$ – мерная целочисленная решетка), в котором преобразование Фурье оператора $Q(\varepsilon)$ представляется в виде $H=H_0+\varepsilon K$, $\varepsilon>0$. Показано, что структура дискретного спектра оператора Шредингера $Q(\varepsilon)$ сильно зависит от размерности $\nu$ решетки. Доказано, \linebreak что в случае $\nu=1,2$ при всех $\varepsilon>0$ дискретный спектр оператора Шредингера $Q(\varepsilon)$ бесконечен, а в случае $\nu \geq3$ при достаточно малых $\varepsilon>0$ дискретный спектр оператора Шредингера $Q(\varepsilon)$ – пустое множество.