Орбиты разложимых $7$-мерных алгебр Ли с $\mathfrak{sl}(2)$-подалгеброй

Аннотация

Задача построения полной классификации голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей двумерных комплексных пространств была решена Э. Картаном в 1932 г. Аналогичное описание в трехмерном случае было недавно получено А.В. Лободой. В работе обсуждается фрагмент классификации (локально) голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей $4$-мерного комплексного пространства, являющихся орбитами в $\mathbb{C}^4$ одного семейства $7$-мерных алгебр Ли. Как показано в работах Белошапки и Коссовского, Лободы и др., применение идей Э. Картана позволяет относительно легко получать описания орбит для алгебр, имеющих абелевы идеалы достаточно больших размерностей. В частности, наличие $4$-мерного абелева идеала в $7$-мерной алгебре Ли голоморфных векторных полей в $\mathbb{C}^4$ часто приводит к свойству трубчатости для всех орбит такой алгебры. Алгебры Ли из рассматриваемого в работе семейства являются прямыми суммами алгебры $\mathfrak{sl}(2)$ и нескольких $4$-мерных алгебр Ли и имеют не более чем $3$-мерные абелевы подалгебры. При помощи техники совместного «выпрямления» векторных полей получено полное описание всех невырожденных по Леви голоморфно однородных гиперповерхностей, являющихся орбитами в $\mathbb{C}^4$ рассматриваемых алгебр. Многие из полученных однородных гиперповерхностей также оказываются трубчатыми многообразиями. Вместе с тем вопрос о возможной сводимости к трубкам остальных поверхностей еще предстоит исследовать. Эффективным инструментом такого исследования, как и детального изучения вопросов о голоморфной эквивалентности получаемых орбит, может оказаться техника нормальных форм Мозера. С ее помощью в статье исследован вопрос о сферичности представителей одного из полученных семейств гиперповерхностей. Однако применение метода нормальных форм для гиперповерхностей в комплексных пространствах размерности $4$ и выше требует дальнейшей разработки этой техники.