Интегрирование уравнения Камассы-Холма с самосогласованным источником интегрального типа

Аннотация

Работа посвящена исследованию уравнения Камассы-Холма с самосогласованным источником интегрального типа. Источник рассматриваемого уравнения соответствует непрерывному спектру спектральной задачи связанной с уравнением Камассы-Холма. Как известно, интегрируемые системы допускают операторное представление Лакса $L_t = [L,A]$, где $L$ – линейный оператор, а $A$ – некоторый кососимметрический оператор, действующий в гильбертовом пространстве. Обобщенное представление Лакса для рассматриваемого уравнения имеет вид $L_t = [L,A]+C$, где $C$ – сумма дифференциальных операторов с коэффициентами, зависящими от решений спектральной задачи для оператора $L$. Построение самосогласованного источника для рассматриваемой задачи основано на том, что именно квадраты собственных функций спектральной задачи существенны при решении интегрируемых уравнений методом обратной задачи рассеяния. Кроме этого, для рассматриваемого типа уравнений эволюция собственных функций в обобщенном представлении Лакса имеет особенность. Применение метода обратной задачи рассеяния основано на спектральной задаче, связанной с классическим уравнением Камассы-Холма. Выведена эволюция данных рассеяния этой спектральной задачи с потенциалом, являющимся решением уравнения Камассы-Холма с самосогласованным источником. При выводе эволюции спектральных данных, соответствующих непрерывному спектру, существенно используется формула Сохоцкого-Племеля. Результаты работы, относящиеся к эволюции данных рассеяния, связанных с дискретным спектром, основаны на методах предыдущих работ авторов. Полученные результаты сформулированы в качестве основной теоремы. Результаты теоремы позволяют применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для рассматриваемого уравнения. Методы данной работы могут быть легко обобщены на высшие аналоги уравнения Камассы-Холма.