Квадратурная формула для нормальной производной потенциала двойного слоя

Аннотация

Разыскивая решение краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в виде комбинации потенциалов простого и двойного слоев, рассматриваемые краевые задачи приводятся к криволинейному интегральному уравнению, зависящему от операторов, порожденных потенциалами простого и двойного слоев и их нормальной производной. Известно, что операторы, порожденные потенциалами простого и двойного слоев и нормальной производной потенциала простого слоя, являются слабо-сингулярными интегральными операторами. Однако построенный Ляпуновым контрпример показывает, что для потенциала двойного слоя с непрерывной плотностью производная, вообще говоря, не существует, т.е. оператор, порожденный нормальной производной потенциала двойного слоя, является сингулярным интегральным оператором. Так как во многих случаях невозможно найти точные решения интегральных уравнений, то представляет интерес исследование приближенного решения полученных интегральных уравнений, в которых для нахождения приближенного решения требуется, в первую очередь, построение квадратурных формул для потенциалов простого и двойного слоев и их нормальных производных. В работе доказана теорема существования нормальной производной потенциала двойного слоя, дана формула для его вычисления. Кроме того, разработан новый метод построения квадратурной формулы для сингулярного криволинейного интеграла, на основании которого построена квадратурная формула для нормальной производной потенциала двойного слоя и дана ее оценка погрешности.