Поведение целого ряда Дирихле из класса $\underline{D}(\Phi)$ на кривых ограниченного $K$–наклона

Аннотация

Изучается асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле $F(s)=\sum\limits_{n}a_{n}e^{\lambda_{n}s}$, $0<\lambda_{n}\uparrow\infty$, на кривых ограниченного $K$-наклона, естественным образом уходящих в бесконечность. Для целых трансцендентных функций конечного порядка, имеющих вид $f(z)=\sum\limits_{n}a_{n}z^{p_{n}}$, $p_{n}\in\mathbb{N}$, Полиа показал, что если плотность последовательности $\left\{p_{n}\right\}$ равна нулю, то для любой кривой $\gamma$, уходящей в бесконечность, существует неограниченная последовательность $\{\xi_{n}\}\subset\gamma$, такая, что при $\xi_{n}\rightarrow\infty$ имеет место соотношение: \begin{equation*} \ln M_{f}(|\xi_{n}|)\sim \ln\left|f(\xi_{n})\right| \end{equation*} ($M_{f}(r)$ — максимум модуля функции $f$). Позже эти результаты были полностью перенесены И.Д. Латыповым на целые ряды Дирихле конечного порядка и конечного нижнего порядка по Ритту. Дальнейшее обобщение было получено в работах Н.Н. Юсуповой–Аиткужиной на более общие классы $D(\Phi)$ и $\underline{D}(\Phi)$, определяемые выпуклой мажорантой $\Phi$. В настоящей статье получены необходимые и достаточные условия на показатели $\lambda_{n}$ для того, чтобы логарифм модуля суммы любого ряда Дирихле из класса $\underline{D}(\Phi)$ на кривой $\gamma$ ограниченного $K$–наклона был эквивалентен логарифму максимального члена, когда $\sigma=\text{Re} s\rightarrow +\infty$ по некоторому асимптотическому множеству, верхняя плотность которого равна единице. Отметим, что для целых рядов Дирихле произвольного, сколь угодно быстрого роста соответствующий результат для случая $\gamma = \mathbb{R}_+$ был получен А.М. Гайсиным в 1998 году.