Необходимое условие выполнения фундаментального принципа для инвариантных подпространств в неограниченной выпуклой области

Аннотация

В работе изучаются пространства $H(D)$ функций, аналитических в выпуклых областях комплексной плоскости. Также изучаются подпространства $W(\Lambda,D)$ таких пространств. Подпространство $W(\Lambda,D)$ является замыканием в пространстве $H(D)$ линейной оболочки системы $\mathcal{E}(\Lambda)=\{z^n \exp(\lambda_k z)\}_{k=1,n=0}^{\infty,n_k-1}$, где $\Lambda$ — это последовательность различных комплексных чисел $\lambda_k$ и их кратностей $n_k$. Данное подпространство является инвариантным относительно оператора дифференцирования. Основной задачей в теории инвариантных подпространств является представление всех его функций при помощи собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования — $z^n e^{\lambda_k z}$. В данной работе исследуется проблема фундаментального принципа для инвариантного подпространства $W(\Lambda,D)$, т.е. проблема представления всех его элементов при помощи ряда, построенного по системе $\mathcal{E}(\Lambda)$. Получены простые геометрические условия, которые необходимы для наличия фундаментального принципа. Эти условия формулируются в терминах длины дуги выпуклой области и максимальной плотности последовательности показателей экспонент.