О нелинейных гиперболических системах, связанных преобразованиями Бэклунда

Аннотация

В данной работе описаны пары нелинейных гиперболичесих систем уравнений вида $u_{xy} = f(u, u_x, u_y)$, где $u^i_{xy} = f^i$, $i = 1,2, \dots n$, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого порядка. На основе преобразований Лапласа, связывающих линеаризации, построены преобразования Бэклунда, связывающие решения нелинейных систем. Классическое преобразование Бэклунда определяется для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, решением которого является функция от двух независимых переменных. Преобразование Бэклунда для пары нелинейных уравнений это система соотношений, которая содержит функции и первые производные от функций, и обеспечивает преобразование решения одного уравнения в решение другого и наоборот. Преобразования Бэклунда сохраняют интегрируемость. Проблема Бэклунда заключается в перечислении возможных преобразований Бэклунда и уравнений, которые такие преобразования допускают. Метод каскадного интегрирования Лапласа является одним из классических методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Преобразование Лапласа является частным случаем преобразования Бэклунда для линейных уравнений. Метод, используемый в данной работе, ранее был применен к нелинейным гиперболическим уравнениям. В данной работе этот метод применяется для описания систем, связанных преобразованиями Бэклунда.