Локальные и нелокальные краевые задачи для обобщенного уравнения Аллера–Лыкова

Аннотация

При математическом моделировании сплошных сред с памятью возникают уравнения, описывающие новый тип волнового движения, занимающего промежуточное положение между обычной диффузией и классическими волнами. Имеются в виду дифференциальные уравнения дробного порядка, как по временной, так и по пространственной переменной, которые являются основой большинства математических моделей в механике жидкости, вязкоупругости, а также в процессах переноса в средах с фрактальной структурой и памятью. В настоящей работе представлено качественно новое уравнение влагопереноса, являющееся обобщением уравнения Аллера–Лыкова. Данное обобщение дает возможность отражения в характере исходного уравнения специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности. Работа посвящена исследованию локальных и нелокальных краевых задач для неоднородного уравнения влагопереноса типа Аллера–Лыкова с переменными коэффициентами с дробной производной Римана–Лиувилля. Для обобщенного уравнения типа Аллера–Лыкова рассмотрены начально-краевые задачи с условиями первого и третьего рода, а также нелокальные задачи, содержащие в краевых условиях нелокальность по времени. Методом энергетических неравенств, при предположении существования регулярных решений, получены априорные оценки в терминах дробной производной Римана–Лиувилля, из которых следует единственность решений рассматриваемых краевых задач, их устойчивость по правой части и начальным данным.