О некоторых специальных решениях уравнения Эйзенхарта

Аннотация

В работе ведется исследование $6$-мерных псевдоримановых пространств $V^6(g_{ij})$ с сигнатурой $[++----]$, которые допускают проективные движения, то есть группы непрерывных преобразований, сохраняющих геодезические. Общий метод определения псевдоримановых многообразий, которые допускают негомотетическую проективную группу $G_r$, был развит А. В. Аминовой. А. В. Аминова классифицировала все лоренцевы многообразия размерности $\geq3$, которые допускают негомотетические проективные или афинные преобразования. Эта проблема не решена для псевдоримановых пространств с произвольной сигнатурой. Для того чтобы найти псевдориманово пространство, допускающее негомотетическое инфинитезимальное проективное преобразование, нужно проинтегрировать уравнение Эйзенхарта $$h_{ij,k}=2g_{ij}\varphi_{,k}+g_{ik}\varphi_{,j}+g_{jk}.$$ Псевдоримановы многообразия, для которых существуют нетривиальные решения $h_{ij}\ne cg_{ij}$ уравнений Эйзенхарта, называются $h$-пространствами. Известно, что проблема определения таких пространств зависит от типа $h$-пространства, т.е. от типа билинейной формы $L_Xg_{ij}$, определенной характеристикой $\lambda$-матрицы $(h_{ij}-\lambda g_{ij})$. Число возможных типов зависит от размерности и сигнатуры $h$-пространства. В работе найдены метрики и определены квадратичные первые интегралы уравнений геодезических $6$-мерных $h$-пространств типов $[(21\ldots1)(21\ldots1)\ldots(1\ldots1)]$.